Tidak Berlaku Kesamaan

Diberikan bilangan-bilangan real positif $a,b,c$ yang memenuhi $a+b+c=2$. Buktikan bahwa $$a^2+b^2+c^2+6 > 12\sqrt{abc}$$

Generalized Nesbitt Inequality

Untuk setiap bilangan real positif $x_1, x_2, x_3, ... , x_n$, $n > 1, n \in \mathbb{N}$ berlaku

$\large \frac{x_1}{x_2+x_3+... +x_n}+\frac{x_2}{x_3+x_4+... +x_1}+... +\frac{x_n}{x_1+x_2+... +x_{n-1}} \ge \frac{n}{n-1}$

Bukti:
Misalkan $x_1+x_2+...+x_n=S$. Dengan menggunakan ketaksamaan AM-HM diperoleh $$ \frac{\sum \limits_{cyc} (S-x_1)}{n} \ge \frac{n}{\sum \limits_{cyc} \frac{1}{S-x_1}}$$ $$ (n-1)S \ge \frac{n^2}{\sum \limits_{cyc} \frac{1}{S-x_1}}$$ $$ S(\sum \limits_{cyc} \frac{1}{S-x_1}) \ge \frac{n^2}{n-1}$$ $\large \frac{x_1}{x_2+x_3+... +x_n}+\frac{x_2}{x_3+x_4+... +x_1}+... +\frac{x_n}{x_1+x_2+... +x_{n-1}} + n \ge \frac{n^2}{n-1}$

$\large \frac{x_1}{x_2+x_3+... +x_n}+\frac{x_2}{x_3+x_4+... +x_1}+... +\frac{x_n}{x_1+x_2+... +x_{n-1}} \ge \frac{n^2}{n-1} - n$

$\large \frac{x_1}{x_2+x_3+... +x_n}+\frac{x_2}{x_3+x_4+... +x_1}+... +\frac{x_n}{x_1+x_2+... +x_{n-1}} \ge \frac{n}{n-1}$

Terbukti

Nesbitt Inequality

Untuk setiap bilangan real positif $a,b,c$ berlaku $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \ge \frac{3}{2}$$
Bukti:
Dengan ketaksamaan AM-HM diperoleh $$\frac{(a+b)+(b+c)+(c+a)}{3} \ge \frac{3}{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}}$$ $$(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}) \ge \frac{9}{2}$$ $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+3 \ge \frac{9}{2}$$ $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \ge \frac{3}{2}$$
Terbukti.