Jarak Titik Terhadap Garis

Diketahui segitiga $ABC$. Titik $D$ dan $E$ berturut-turut pada sisi $AB$ dan $AC$ dengan panjang $AD=BD$ dan $AE=CE$. Jarak titik $B$ ke garis $CD$ adalah $60$. Tentukan jarak titik $E$ ke garis $CD$.

Solusi:

Perhatikan bahwa $AE=EC$ dan $AD=DB$. Akibatnya luas segitiga $ADC$ sama dengan luas segitiga $BDC$. Jika $t_A$ menyatakan tinggi segitiga $ADC$ yang ditarik dari titik $A$ dan $t_B$ menyatakan tinggi segitiga $BDC$ yang ditarik dari titik $B$, maka

$\lbrack ADC \rbrack = \lbrack BDC \rbrack$

$\frac{1}{2}t_A=\frac{1}{2}t_B$

$t_A=t_B=60$

Sekarang misalkan $A$ dan $E$ memotong $CD$ tegak lurus berturut-turut di titik $F$ dan $G$. Perhatikan bahwa segitiga $CAF$ sebangun dengan segitiga $CEG$, sehingga

$\frac{CE}{CA}=\frac{EG}{AF}$

$\frac{1}{2}=\frac{EG}{60}$

$EG=30$

Maka jarak titik $E$ ke garis $CD$ adalah $30$.

Berbanding dan Kolinear

Pada segitiga $ABC$, $P$ dan $P_1$ terletak pada $BC$, $Q$ terletak pada $CA$, dan $R$ terletak pada $AB$ sedemikian sehingga

$\large \frac{BP}{PC}=\frac{CQ}{QA}=\frac{CP_1}{P_1B}=\frac{AR}{RB}$

Misalkan $G$ adalah titik berat segitiga $ABC$ dan $K=QR\cap AP_1$. Buktikan bahwa $K,G,P$ kolinear.

Solusi:
Misalkan $A'$ merupakan titik tengah $BC$. Karena $\large \frac{BP}{PC}=\frac{CP_1}{P_1B}$, maka dapat dengan mudah diperoleh $PA'=P_1A'$.
Karena $\large \frac{CQ}{QA}=\frac{CP_1}{P_1B}$, maka $QP_1 \parallel AB$. Kemudian karena $\large \frac{BP_1}{P_1C}=\frac{BR}{RA}$, maka $P_1R \parallel CA$. Akibatnya, $ARP_1Q$ merupakan jajaran genjang. Maka $K$ merupakan perpotongan dari dua diagonal jajaran genjang, sehingga $AK=KP_1$.
Perhatikan karena $G$ merupakan titik berat segitiga $ABC$, maka $G$ terletak pada garis $AA'$ dengan $AG:GA'=2:1$. Sekarang pandang segitiga $AP_1A'$ dengan transversal garis $PK$.Perhatikan bahwa

$\large \frac{AK}{KP_1}.\frac{P_1P}{PA'}.\frac{A'G}{GA}=\frac11.\frac21.\frac{1}{2}=1$

Sehingga menurut dalil Menelaus $K,G,P$ kolinear.

Tujuh Bilangan Berbeda

Diberikan tujuh bilangan real berbeda. Apakah mungkin akan selalu ada dua bilangan, katakanlah $x$ dan $y$, sehingga $0 < \frac{x-y}{1+xy} < \frac{1}{3}\sqrt{3}$?

Floor Simetris

Untuk sembarang bilangan real $x$ didefinisikan $\lfloor x \rfloor$ sebagai bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $x$. Tentukan bilangan asli $n$ sehingga persamaan $\large x\lfloor \frac1x \rfloor + \frac1x\lfloor x \rfloor=\frac{n}{n+1}$ mempunyai tepat 2010 solusi real positif.

Solusi:

Perhatikan karena ruas kiri simetris, maka apabila $x=a$ merupakan solusi, $x=\frac1a$ juga merupakan solusi. Perhatikan juga bahwa tidak ada bilangan asli $n$ sehingga $x=1$ merupakan solusi. Maka akan ada tepat 1005 solusi untuk $x > 1$ dan juga tepat 1005 solusi untuk $0 < x < 1$. Ambil $x > 1$. Perhatikan bahwa

$x\lfloor \frac1x \rfloor + \frac1x\lfloor x \rfloor=\frac1x\lfloor x \rfloor=\frac{n}{n+1}$
$\lfloor x \rfloor n + \lfloor x \rfloor = xn$
$x=\lfloor x \rfloor+\frac{\lfloor x \rfloor}{n}$

Karena $n$ fixed, maka $1\le \lfloor x \rfloor \le 1005$ agar persamaan ini tepat memiliki 1005 solusi. Karena $x=\lfloor x \rfloor+\frac{\lfloor x \rfloor}{n} < 2x$, maka haruslah $n>\lfloor x \rfloor$. Karena nilai maksimum dari $\lfloor x \rfloor$ adalah 1005, maka $n=1006$.

Suku dan Deret Aritmatika (Calculus Mixing)

Misalkan kita mempunyai sebuah deret aritmatika dengan suku pertama $a$ dan beda $b$. Perhatikan bahwa

$S_n=\frac n2(2a+(n-1)b)=\frac12bn^2-\frac12bn+an$

Turunan pertama dan kedua dari $S_n$ berturut-turut adalah

$S_n'=bn-\frac12b+a$
$ S_n''=b$

Kalikan $S_n''$ dengan $-\frac{1}{2}$, sehingga

$ -\frac{1}{2}S_n''=-\frac{1}{2}b$

Maka

$ S_n'-\frac{1}{2}S_n''=bn-\frac12b+a-\frac{1}{2}b$
$ S_n'-\frac{1}{2}S_n''=a+bn-b=a+(n-1)b=U_n$
$ U_n=S_n'-\frac{1}{2}S_n''$

Sekarang perhatikan bahwa

$ U_n=a+(n-1)b=bn+a-b$

Integralkan persamaan tersebut, diperoleh

$ \int U_n dn=\int (bn+a-b) dn$
$ \int U_n dn=\frac{1}{2}bn^2+an-bn+C$
$ \int U_n dn=\frac{1}{2}bn^2-\frac{1}{2}bn+an-\frac{1}{2}bn+C$
$ \int U_n dn=S_n-\frac{1}{2}bn+C$

Substitusi $C=\frac{1}{2}bn$

$ \int U_n dn=S_n-\frac{1}{2}bn+\frac{1}{2}bn$
$ S_n=\int U_n dn$ dengan $ C=\frac{1}{2}bn$

Jadi

$ U_n=S_n'-\frac{1}{2}S_n''$
$ S_n=\int U_n dn$ dengan $ C=\frac{1}{2}bn$

Koleksi Soal Limit

1. Hitunglah nilai dari bentuk-bentuk limit berikut:
a. $\large \lim \limits_{x \rightarrow -2} \frac{2x^2+3x-2}{x+2}$
b. $\large \lim \limits_{x \rightarrow 4} \frac{x-4}{\sqrt{x^2-16}}$
c. $\large \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^5-x^3+x^2}{x^4+x^3-x^2}$

2. Hitunglah nilai dari bentuk-bentuk limit berikut:
a. $\large \lim \limits_{x \rightarrow\infty} \frac{3x^2-5x_10}{x-10}$
b. $\large \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2-4x+5}{\sqrt{x^5}+8}$
c. $\large \lim \limits_{x \rightarrow\infty} \sqrt{x+3}-\sqrt{x+2}$
d. $\large \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \sqrt{3x^2-4x+8}-\sqrt{3x^2-2x+8}$

3. Hitunglah nilai dari bentuk-bentuk limit berikut:
a. $\large \lim \limits_{x \rightarrow \frac{\pi}{3}} \frac{\sin 2(x-\frac{\pi}{3})}{(x-\frac{\pi}{3})}$
b. $\large \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{ax}{\sin bx}$
c. $\large \lim \limits_{x \rightarrow -2} \frac{\tan (6x+12)}{(4x+8)}$
d. $\large \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 x}{4x^2}$
e. $\large \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{\sin x - \sin a}{x-a}$
f. $\large \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cot 3x}{\cot 9x}$
g. $\large \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{(x-a)}{(3x-3a)+\tan (x-a)}$
h. $\large \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{(x-a)}{\sin (x-a) + (4a-4x)}$

Ketaksamaan Simetris

Misalkan $a,b,c,d$ adalah bilangan-bilangan positif sehingga $a+b+c+d=1$. Buktikan bahwa

$\large \sum \limits_{sym} \frac1{(a+b)^2}≥24$

Fungsi

Carilah semua fungsi $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sedemikian sehingga berlaku

$f(x+y)f(x-y)=xf(x)-yf(y)$

untuk semua bilangan real $x,y$.

Ketaksamaan Keren

Diberikan bilangan-bilangan real positif $a,b,c,d$ yang memenuhi $\large \frac {1}{1 + a^4} +\frac {1}{1 + b^4}+\frac {1}{1 + c^4} + \frac {1}{1 + d^4} = 1$. Buktikan $abcd≥3$.

Find the Lemma, Find the Elegant Solution

Diberikan bilangan real positif $a,b,c,d$ yang memenuhi $abcd=1$. Buktikan bahwa

$\large \frac1{(1+a)^2}+\frac1{(1+b)^2}+\frac1{(1+c)^2}+\frac1{(1+d)^2}≥1$

Integral Fungsi Monoton Naik

Diberikan fungsi monoton naik $f(x)$ yang memenuhi $f(0)=0$ dan $f(2011)=100$. Jika $f^{-1}(x)$ menyatakan fungsi invers dari $f(x)$, maka tentukanlah nilai dari $\int \limits_0^{2011} f(x) dx + \int \limits_0^{100} f^{-1}(x) dx$.

Dua Digit Terakhir

Tentukanlah dua digit terakhir dari $\large 2009^{2010^{2011}}$.

Solusi:

Karena $2009$ relatif prima terhadap $100$, maka dengan menggunakan teorema Euler diperoleh $2009^{\phi (100)} \equiv 1 \pmod{100}$. Perhatikan bahwa $\phi (100)=40$, sehingga $2009^{40} \equiv 1 \pmod{100}$. Tapi $2010^{2011}$ merupakan bilangan kelipatan $40$, sehingga $\large 2009^{2010^{2011}} \equiv 1 \pmod{100}$. Maka dua digit terakhir dari $\large 2009^{2010^{2011}}$ adalah $01$.

Dari IMO 2010

Misalkan $P$ suatu titik di dalam segitiga $ABC$. Garis-garis $AP$, $BP$ dan $CP$ memotong lagi lingkaran luar $\Gamma$ dari segitiga $ABC$ berturut-turut di titik-titik $K$, $L$ dan $M$. Garis singgung $\Gamma$ di $C$ memotong garis $AB$ di $S$. Misalkan $SC = SP$. Buktikan bahwa $MK = ML$.

Tidak Terlalu Sulit

Diberikan bilangan-bilangan real $a,b,c\neq 0$ yang memenuhi

$\large \frac 1a + \frac 1b + \frac 1c = \frac 1 {a+b+c}$

Buktikan bahwa $\sum\limits_{cyc} (a^2+1)bc < 0$.

Persamaan Diophantine

Carilah semua pasangan bilangan cacah $(x,y)$ yang memenuhi $1+3^x=2^y$.

Koleksi Soal Turunan

1. Tentukan turunan dari $\frac{3x^2+x+5}{x^2+x-1}$.
2. Tentukan turunan dari $\frac{1}{\sqrt x} + \frac{1}{\sqrt{x+1}} + \sqrt{\frac{x}{x+1}}$.
3. Tentukan turunan dari $\sqrt{x^3+\sqrt{x^2+1}}$.
4. Misalkan fungsi $f(x)=\sqrt{1+\sin ^2x}$ didefinisikan dalam daerah asal $D_f=\{x|0≤x≤2\pi, x\in\mathbb{R} \}$. Tunjukkan bahwa $f'(x).f(x)=\frac{1}{2}\sin 2x$.
5. Tentukan persamaan garis singgung dari kurva $y=(2x+1)(x-2)$ di titik dengan absis $x=3$.
6. Kurva $y=(x^2+2)^2$ memotong sumbu $Y$ di titik $A$. Tunjukkan bahwa garis singgung pada kurva tersebut yang melalui titik $A$ sejajar dengan sumbu $X$ dan berjarak $4$ satuan terhadap titik asal $O$.
7. Fungsi kuadrat $f(x)=px^2+qx+4$ mempunyai koordinat titik balik minimum di $(1,-1)$. Hitunglah nilai-nilai $p$ dan $q$.
8. Diberikan fungsi $f(x)=ax^3+bx^2+cx$ mempunyai titik belok pada titik $(-2,6)$ dan gradien garis singgung kurva $y=f(x)$ pada titik belok $(-2,6)$ sama dengan $-7$. Hitunglah nilai-nilai $a$, $b$, dan $c$.
9. Diberikan dua buah bilangan bulat positif yang memiliki jumlah $50$. Tentukan nilai maksimum dari perkalian keduanya.
10. Selembar karton dengan panjang $16$ dan lebar $10$ akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat bagian pojoknya berbentuk persegi dengan panjang sisi $x$. Tentukan nilai $x$ agar volume kotak maksimum.