Pada segitiga $ABC$, $P$ dan $P_1$ terletak pada $BC$, $Q$ terletak pada $CA$, dan $R$ terletak pada $AB$ sedemikian sehingga
Misalkan $G$ adalah titik berat segitiga $ABC$ dan $K=QR\cap AP_1$. Buktikan bahwa $K,G,P$ kolinear.
Solusi:
Misalkan $A'$ merupakan titik tengah $BC$. Karena $\large \frac{BP}{PC}=\frac{CP_1}{P_1B}$, maka dapat dengan mudah diperoleh $PA'=P_1A'$.
Karena $\large \frac{CQ}{QA}=\frac{CP_1}{P_1B}$, maka $QP_1 \parallel AB$. Kemudian karena $\large \frac{BP_1}{P_1C}=\frac{BR}{RA}$, maka $P_1R \parallel CA$. Akibatnya, $ARP_1Q$ merupakan jajaran genjang. Maka $K$ merupakan perpotongan dari dua diagonal jajaran genjang, sehingga $AK=KP_1$.
Perhatikan karena $G$ merupakan titik berat segitiga $ABC$, maka $G$ terletak pada garis $AA'$ dengan $AG:GA'=2:1$. Sekarang pandang segitiga $AP_1A'$ dengan transversal garis $PK$.Perhatikan bahwa
$\large \frac{BP}{PC}=\frac{CQ}{QA}=\frac{CP_1}{P_1B}=\frac{AR}{RB}$
Misalkan $G$ adalah titik berat segitiga $ABC$ dan $K=QR\cap AP_1$. Buktikan bahwa $K,G,P$ kolinear.
Solusi:
Misalkan $A'$ merupakan titik tengah $BC$. Karena $\large \frac{BP}{PC}=\frac{CP_1}{P_1B}$, maka dapat dengan mudah diperoleh $PA'=P_1A'$.
Karena $\large \frac{CQ}{QA}=\frac{CP_1}{P_1B}$, maka $QP_1 \parallel AB$. Kemudian karena $\large \frac{BP_1}{P_1C}=\frac{BR}{RA}$, maka $P_1R \parallel CA$. Akibatnya, $ARP_1Q$ merupakan jajaran genjang. Maka $K$ merupakan perpotongan dari dua diagonal jajaran genjang, sehingga $AK=KP_1$.
Perhatikan karena $G$ merupakan titik berat segitiga $ABC$, maka $G$ terletak pada garis $AA'$ dengan $AG:GA'=2:1$. Sekarang pandang segitiga $AP_1A'$ dengan transversal garis $PK$.Perhatikan bahwa
$\large \frac{AK}{KP_1}.\frac{P_1P}{PA'}.\frac{A'G}{GA}=\frac11.\frac21.\frac{1}{2}=1$
Sehingga menurut dalil Menelaus $K,G,P$ kolinear.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar