Floor Simetris

Untuk sembarang bilangan real $x$ didefinisikan $\lfloor x \rfloor$ sebagai bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $x$. Tentukan bilangan asli $n$ sehingga persamaan $\large x\lfloor \frac1x \rfloor + \frac1x\lfloor x \rfloor=\frac{n}{n+1}$ mempunyai tepat 2010 solusi real positif.

Solusi:

Perhatikan karena ruas kiri simetris, maka apabila $x=a$ merupakan solusi, $x=\frac1a$ juga merupakan solusi. Perhatikan juga bahwa tidak ada bilangan asli $n$ sehingga $x=1$ merupakan solusi. Maka akan ada tepat 1005 solusi untuk $x > 1$ dan juga tepat 1005 solusi untuk $0 < x < 1$. Ambil $x > 1$. Perhatikan bahwa

$x\lfloor \frac1x \rfloor + \frac1x\lfloor x \rfloor=\frac1x\lfloor x \rfloor=\frac{n}{n+1}$
$\lfloor x \rfloor n + \lfloor x \rfloor = xn$
$x=\lfloor x \rfloor+\frac{\lfloor x \rfloor}{n}$

Karena $n$ fixed, maka $1\le \lfloor x \rfloor \le 1005$ agar persamaan ini tepat memiliki 1005 solusi. Karena $x=\lfloor x \rfloor+\frac{\lfloor x \rfloor}{n} < 2x$, maka haruslah $n>\lfloor x \rfloor$. Karena nilai maksimum dari $\lfloor x \rfloor$ adalah 1005, maka $n=1006$.

Dua Digit Terakhir

Tentukanlah dua digit terakhir dari $\large 2009^{2010^{2011}}$.

Solusi:

Karena $2009$ relatif prima terhadap $100$, maka dengan menggunakan teorema Euler diperoleh $2009^{\phi (100)} \equiv 1 \pmod{100}$. Perhatikan bahwa $\phi (100)=40$, sehingga $2009^{40} \equiv 1 \pmod{100}$. Tapi $2010^{2011}$ merupakan bilangan kelipatan $40$, sehingga $\large 2009^{2010^{2011}} \equiv 1 \pmod{100}$. Maka dua digit terakhir dari $\large 2009^{2010^{2011}}$ adalah $01$.

Persamaan Diophantine

Carilah semua pasangan bilangan cacah $(x,y)$ yang memenuhi $1+3^x=2^y$.