Suku dan Deret Aritmatika (Calculus Mixing)

Misalkan kita mempunyai sebuah deret aritmatika dengan suku pertama $a$ dan beda $b$. Perhatikan bahwa

$S_n=\frac n2(2a+(n-1)b)=\frac12bn^2-\frac12bn+an$

Turunan pertama dan kedua dari $S_n$ berturut-turut adalah

$S_n'=bn-\frac12b+a$
$ S_n''=b$

Kalikan $S_n''$ dengan $-\frac{1}{2}$, sehingga

$ -\frac{1}{2}S_n''=-\frac{1}{2}b$

Maka

$ S_n'-\frac{1}{2}S_n''=bn-\frac12b+a-\frac{1}{2}b$
$ S_n'-\frac{1}{2}S_n''=a+bn-b=a+(n-1)b=U_n$
$ U_n=S_n'-\frac{1}{2}S_n''$

Sekarang perhatikan bahwa

$ U_n=a+(n-1)b=bn+a-b$

Integralkan persamaan tersebut, diperoleh

$ \int U_n dn=\int (bn+a-b) dn$
$ \int U_n dn=\frac{1}{2}bn^2+an-bn+C$
$ \int U_n dn=\frac{1}{2}bn^2-\frac{1}{2}bn+an-\frac{1}{2}bn+C$
$ \int U_n dn=S_n-\frac{1}{2}bn+C$

Substitusi $C=\frac{1}{2}bn$

$ \int U_n dn=S_n-\frac{1}{2}bn+\frac{1}{2}bn$
$ S_n=\int U_n dn$ dengan $ C=\frac{1}{2}bn$

Jadi

$ U_n=S_n'-\frac{1}{2}S_n''$
$ S_n=\int U_n dn$ dengan $ C=\frac{1}{2}bn$

Koleksi Soal Limit

1. Hitunglah nilai dari bentuk-bentuk limit berikut:
a. $\large \lim \limits_{x \rightarrow -2} \frac{2x^2+3x-2}{x+2}$
b. $\large \lim \limits_{x \rightarrow 4} \frac{x-4}{\sqrt{x^2-16}}$
c. $\large \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^5-x^3+x^2}{x^4+x^3-x^2}$

2. Hitunglah nilai dari bentuk-bentuk limit berikut:
a. $\large \lim \limits_{x \rightarrow\infty} \frac{3x^2-5x_10}{x-10}$
b. $\large \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2-4x+5}{\sqrt{x^5}+8}$
c. $\large \lim \limits_{x \rightarrow\infty} \sqrt{x+3}-\sqrt{x+2}$
d. $\large \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \sqrt{3x^2-4x+8}-\sqrt{3x^2-2x+8}$

3. Hitunglah nilai dari bentuk-bentuk limit berikut:
a. $\large \lim \limits_{x \rightarrow \frac{\pi}{3}} \frac{\sin 2(x-\frac{\pi}{3})}{(x-\frac{\pi}{3})}$
b. $\large \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{ax}{\sin bx}$
c. $\large \lim \limits_{x \rightarrow -2} \frac{\tan (6x+12)}{(4x+8)}$
d. $\large \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 x}{4x^2}$
e. $\large \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{\sin x - \sin a}{x-a}$
f. $\large \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cot 3x}{\cot 9x}$
g. $\large \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{(x-a)}{(3x-3a)+\tan (x-a)}$
h. $\large \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{(x-a)}{\sin (x-a) + (4a-4x)}$

Integral Fungsi Monoton Naik

Diberikan fungsi monoton naik $f(x)$ yang memenuhi $f(0)=0$ dan $f(2011)=100$. Jika $f^{-1}(x)$ menyatakan fungsi invers dari $f(x)$, maka tentukanlah nilai dari $\int \limits_0^{2011} f(x) dx + \int \limits_0^{100} f^{-1}(x) dx$.

Koleksi Soal Turunan

1. Tentukan turunan dari $\frac{3x^2+x+5}{x^2+x-1}$.
2. Tentukan turunan dari $\frac{1}{\sqrt x} + \frac{1}{\sqrt{x+1}} + \sqrt{\frac{x}{x+1}}$.
3. Tentukan turunan dari $\sqrt{x^3+\sqrt{x^2+1}}$.
4. Misalkan fungsi $f(x)=\sqrt{1+\sin ^2x}$ didefinisikan dalam daerah asal $D_f=\{x|0≤x≤2\pi, x\in\mathbb{R} \}$. Tunjukkan bahwa $f'(x).f(x)=\frac{1}{2}\sin 2x$.
5. Tentukan persamaan garis singgung dari kurva $y=(2x+1)(x-2)$ di titik dengan absis $x=3$.
6. Kurva $y=(x^2+2)^2$ memotong sumbu $Y$ di titik $A$. Tunjukkan bahwa garis singgung pada kurva tersebut yang melalui titik $A$ sejajar dengan sumbu $X$ dan berjarak $4$ satuan terhadap titik asal $O$.
7. Fungsi kuadrat $f(x)=px^2+qx+4$ mempunyai koordinat titik balik minimum di $(1,-1)$. Hitunglah nilai-nilai $p$ dan $q$.
8. Diberikan fungsi $f(x)=ax^3+bx^2+cx$ mempunyai titik belok pada titik $(-2,6)$ dan gradien garis singgung kurva $y=f(x)$ pada titik belok $(-2,6)$ sama dengan $-7$. Hitunglah nilai-nilai $a$, $b$, dan $c$.
9. Diberikan dua buah bilangan bulat positif yang memiliki jumlah $50$. Tentukan nilai maksimum dari perkalian keduanya.
10. Selembar karton dengan panjang $16$ dan lebar $10$ akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat bagian pojoknya berbentuk persegi dengan panjang sisi $x$. Tentukan nilai $x$ agar volume kotak maksimum.