Garis

Garis $ax+by+c=0$ melalui titik $A(1,-2)$, $B(-5,2)$, $C(10,-8)$. Jika $a,b,c$ tidak mempunyai faktor persekutuan selain $1$, maka berapakah nilai $a+b+c$? (sumber: SNMPTN 2008)

Solusi:
Pertama kita cermati terlebih dahulu kalimat yang ada pada soal, sebuah garis melalui beberapa titik. Sekarang tak ada salahnya kita ingat kembali, apa sebenarnya itu garis. Secara sederhana, garis itu adalah kumpulan dari titik-titik. Lalu apakah maksudnya jika sebuah garis melalui sebuah titik? Dengan menghubungkan pernyataan sebelumnya bahwa garis itu adalah kumpulan titik-titik, maka apabila sebuah garis melalui sebuah titik, titik yang dilaluinya itu tak lain adalah salah satu dari sekian banyak titik yang termasuk dari "kumpulan" tersebut.

Kita kembali kepada soal. Garis $ax+by+c=0$ melalui titik $A,B,C$. Artinya ketiga titik tersebut berada pada garis, atau dengan kata lain menjadi salah satu "penyusun" garis itu. Karena itu, kita dapat mensubstitusikan nilai absis dan ordinat ketiga titik tersebut ke dalam garis.

Untuk titik $A(1,-2)$, substitusi nilai $x=1$ dan $y=-2$ ke garis, diperoleh

$a-2b+c=0$ $...(1)$

Untuk titik $B(-5,2)$, substitusi nilai $x=-5$ dan $y=2$ ke garis, diperoleh

$-5a+2b+c=0$ $...(2)$

Untuk titik $C(10,-8)$, substitusi nilai $x=10$ dan $y=-8$ ke garis, diperoleh

$10a-8b+c=0$ $...(3)$

Sekarang kita sudah punya tiga persamaan linear, dengan tiga variabel. Langkah selanjutnya yang harus diambil adalah menyelesaikan sistem persamaan tersebut.

Dari persamaan $(1)$ kita memperoleh $c=2b-a$.
Substitusikan ke persamaan $(2)$, memberikan $-5a+2b+2b-a=4b-6a=0$.
Substitusikan ke persamaan $(3)$, memberikan $10a-8b+2b-a=9a-6b=0$.
Jumlahkan dua persamaan terakhir, memberikan $3a-2b=0 \rightarrow 3a=2b$.

Ketiga persamaan telah digunakan, dan kita mendapatkan hasil tersebut. Dalam hati kita mungkin belum puas, karena dengan hasil yang diperoleh saat ini kita belum bisa menyelesaikan soal yang sesungguhnya. Tapi tak perlu menyerah, kita akan tetap lanjut.

$3a=2b$
$\frac ab = \frac 23$

Dari sini kita memperoleh $a=2n$ dan $b=3n$ untuk suatu bilangan bulat $n$ (hal ini benar sebab $\frac ab = \frac {2n}{3n} = \frac 23$). Karena $c=2b-a$, maka $c=6n-2n=4n$. Maka kita mempunyai solusi $(a,b,c)=(2n,3n,4n)$.

Sekarang kita terjemahkan kalimat soal yang terakhir, $a,b,c$ tidak memiliki faktor persekutuan selain $1$. Andaikata kita subsitusikan $n=2$, maka $(a,b,c)=(4,6,8)$. Hal ini tidak memenuhi, sebab $4,6,8$ sama-sama habis dibagi $2$ (karena itu mereka memiliki faktor persekutuan, yaitu $2$). Kalau kita perhatikan, agar syarat pada soal terpenuhi, tentu satu-satunya nilai $n$ yang mungkin hanyalah $n=1$. Dengan demikian kita akan mendapatkan $(a,b,c)=(2,3,4)$. Sehingga $a+b+c=2+3+4=9$.

Tidak Berlaku Kesamaan

Diberikan bilangan-bilangan real positif $a,b,c$ yang memenuhi $a+b+c=2$. Buktikan bahwa $$a^2+b^2+c^2+6 > 12\sqrt{abc}$$

Generalized Nesbitt Inequality

Untuk setiap bilangan real positif $x_1, x_2, x_3, ... , x_n$, $n > 1, n \in \mathbb{N}$ berlaku

$\large \frac{x_1}{x_2+x_3+... +x_n}+\frac{x_2}{x_3+x_4+... +x_1}+... +\frac{x_n}{x_1+x_2+... +x_{n-1}} \ge \frac{n}{n-1}$

Bukti:
Misalkan $x_1+x_2+...+x_n=S$. Dengan menggunakan ketaksamaan AM-HM diperoleh $$ \frac{\sum \limits_{cyc} (S-x_1)}{n} \ge \frac{n}{\sum \limits_{cyc} \frac{1}{S-x_1}}$$ $$ (n-1)S \ge \frac{n^2}{\sum \limits_{cyc} \frac{1}{S-x_1}}$$ $$ S(\sum \limits_{cyc} \frac{1}{S-x_1}) \ge \frac{n^2}{n-1}$$ $\large \frac{x_1}{x_2+x_3+... +x_n}+\frac{x_2}{x_3+x_4+... +x_1}+... +\frac{x_n}{x_1+x_2+... +x_{n-1}} + n \ge \frac{n^2}{n-1}$

$\large \frac{x_1}{x_2+x_3+... +x_n}+\frac{x_2}{x_3+x_4+... +x_1}+... +\frac{x_n}{x_1+x_2+... +x_{n-1}} \ge \frac{n^2}{n-1} - n$

$\large \frac{x_1}{x_2+x_3+... +x_n}+\frac{x_2}{x_3+x_4+... +x_1}+... +\frac{x_n}{x_1+x_2+... +x_{n-1}} \ge \frac{n}{n-1}$

Terbukti

Nesbitt Inequality

Untuk setiap bilangan real positif $a,b,c$ berlaku $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \ge \frac{3}{2}$$
Bukti:
Dengan ketaksamaan AM-HM diperoleh $$\frac{(a+b)+(b+c)+(c+a)}{3} \ge \frac{3}{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}}$$ $$(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}) \ge \frac{9}{2}$$ $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+3 \ge \frac{9}{2}$$ $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \ge \frac{3}{2}$$
Terbukti.

Suku dan Deret Aritmatika (Calculus Mixing)

Misalkan kita mempunyai sebuah deret aritmatika dengan suku pertama $a$ dan beda $b$. Perhatikan bahwa

$S_n=\frac n2(2a+(n-1)b)=\frac12bn^2-\frac12bn+an$

Turunan pertama dan kedua dari $S_n$ berturut-turut adalah

$S_n'=bn-\frac12b+a$
$ S_n''=b$

Kalikan $S_n''$ dengan $-\frac{1}{2}$, sehingga

$ -\frac{1}{2}S_n''=-\frac{1}{2}b$

Maka

$ S_n'-\frac{1}{2}S_n''=bn-\frac12b+a-\frac{1}{2}b$
$ S_n'-\frac{1}{2}S_n''=a+bn-b=a+(n-1)b=U_n$
$ U_n=S_n'-\frac{1}{2}S_n''$

Sekarang perhatikan bahwa

$ U_n=a+(n-1)b=bn+a-b$

Integralkan persamaan tersebut, diperoleh

$ \int U_n dn=\int (bn+a-b) dn$
$ \int U_n dn=\frac{1}{2}bn^2+an-bn+C$
$ \int U_n dn=\frac{1}{2}bn^2-\frac{1}{2}bn+an-\frac{1}{2}bn+C$
$ \int U_n dn=S_n-\frac{1}{2}bn+C$

Substitusi $C=\frac{1}{2}bn$

$ \int U_n dn=S_n-\frac{1}{2}bn+\frac{1}{2}bn$
$ S_n=\int U_n dn$ dengan $ C=\frac{1}{2}bn$

Jadi

$ U_n=S_n'-\frac{1}{2}S_n''$
$ S_n=\int U_n dn$ dengan $ C=\frac{1}{2}bn$

Ketaksamaan Simetris

Misalkan $a,b,c,d$ adalah bilangan-bilangan positif sehingga $a+b+c+d=1$. Buktikan bahwa

$\large \sum \limits_{sym} \frac1{(a+b)^2}≥24$

Fungsi

Carilah semua fungsi $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sedemikian sehingga berlaku

$f(x+y)f(x-y)=xf(x)-yf(y)$

untuk semua bilangan real $x,y$.

Ketaksamaan Keren

Diberikan bilangan-bilangan real positif $a,b,c,d$ yang memenuhi $\large \frac {1}{1 + a^4} +\frac {1}{1 + b^4}+\frac {1}{1 + c^4} + \frac {1}{1 + d^4} = 1$. Buktikan $abcd≥3$.

Find the Lemma, Find the Elegant Solution

Diberikan bilangan real positif $a,b,c,d$ yang memenuhi $abcd=1$. Buktikan bahwa

$\large \frac1{(1+a)^2}+\frac1{(1+b)^2}+\frac1{(1+c)^2}+\frac1{(1+d)^2}≥1$

Tidak Terlalu Sulit

Diberikan bilangan-bilangan real $a,b,c\neq 0$ yang memenuhi

$\large \frac 1a + \frac 1b + \frac 1c = \frac 1 {a+b+c}$

Buktikan bahwa $\sum\limits_{cyc} (a^2+1)bc < 0$.