Suku dan Deret Aritmatika (Calculus Mixing)

Misalkan kita mempunyai sebuah deret aritmatika dengan suku pertama $a$ dan beda $b$. Perhatikan bahwa

$S_n=\frac n2(2a+(n-1)b)=\frac12bn^2-\frac12bn+an$

Turunan pertama dan kedua dari $S_n$ berturut-turut adalah

$S_n'=bn-\frac12b+a$
$ S_n''=b$

Kalikan $S_n''$ dengan $-\frac{1}{2}$, sehingga

$ -\frac{1}{2}S_n''=-\frac{1}{2}b$

Maka

$ S_n'-\frac{1}{2}S_n''=bn-\frac12b+a-\frac{1}{2}b$
$ S_n'-\frac{1}{2}S_n''=a+bn-b=a+(n-1)b=U_n$
$ U_n=S_n'-\frac{1}{2}S_n''$

Sekarang perhatikan bahwa

$ U_n=a+(n-1)b=bn+a-b$

Integralkan persamaan tersebut, diperoleh

$ \int U_n dn=\int (bn+a-b) dn$
$ \int U_n dn=\frac{1}{2}bn^2+an-bn+C$
$ \int U_n dn=\frac{1}{2}bn^2-\frac{1}{2}bn+an-\frac{1}{2}bn+C$
$ \int U_n dn=S_n-\frac{1}{2}bn+C$

Substitusi $C=\frac{1}{2}bn$

$ \int U_n dn=S_n-\frac{1}{2}bn+\frac{1}{2}bn$
$ S_n=\int U_n dn$ dengan $ C=\frac{1}{2}bn$

Jadi

$ U_n=S_n'-\frac{1}{2}S_n''$
$ S_n=\int U_n dn$ dengan $ C=\frac{1}{2}bn$